第21話
 円は大地主
 

 
 
「主な対象読者」
今回の対象者は中学生以上です。
内容は、「等周問題」で「与えられた周の長さを持つ閉曲線の内、面積が最大になるのは何か」という問題です。
何故そうなのか頭の訓練のために、解いて見ましょう。
ここでは初等幾何で解いています。
 
 
 
本 文 目 次
1. 実験してみよう
2. 直角三角形の性質
3. 円の性質
4. 凸図形(とつずけい)
5. 等周問題(とうしゅうもんだい)
著作 坂田 明治
 

 
 
第22話 円は大地主
 
 
1. 実験してみよう
 今回の話は「等周問題(とうしゅうもんだい)」です。なんか、いきなりカッコイイ言葉が出てきて、いつもの原稿じゃないみたい。
 
 「等周問題」というのは、「周の長さが同じなら面積が最大になるのはどんな図形だ」という問題です(もちろん、周が閉じている図形が対象)。たいていの人は答えを知っています。そう、「円」です。つまり、円が一番がめつくて、土地をたくさん抱え込んでいる大地主のけちんぼうというわけです(いつもの原稿に戻った!!)。
 
 さて、この問題は色々な方法で解かれています。まあ、「変分法(へんぶんほう)」の勉強をすると、必ずといっていいほど出てきます。それ以外では、「フーリエ級数(きゅうすう)」を使って解くことが多いかな。ですが、現在の「理科好き子供の広場」では、なんのことか解りませんね。将来はどうにかしたいものですが。
 
 それではどうしましょうか。天下り的に「円が最大の面積だ」ということを信じるしかないのでしょうか。経験的に、役人が勝手に決めたろくでもないことを、天下り的に信じるのはちょっと。ろくなことになりませんよね。こういう風に考えると、どんなことでも、一応は疑ってかかった方がよさそうです。たとえ完全ではなくても、やれるだけのことはやってみようという気になりませんか。
 
 ということで、本稿では、子供の広場流のやり方で挑戦してみましょう。まずは、いくつか準備が必要ですが、その前に、当然実験ですね。
 
 実験に必要なものは、糸と方眼紙です(相変わらず、ビンボー症のため、金のかからない実験ばかり考えています)。糸の端を結んでわっかを作ります。このわっかの長さは一定ですので、それをてきとうな形にして、方眼紙においてみましょう(図1)。
 
 わっかの長さは一定でしたから、わっかの中にあるマス目の数を数えましょう。全部が入りきっていないマス目は適当に目分量で半分とか1/3とかにして、その合計を出します。これがわっかの中にある面積です。なお、あんまり方眼紙の目が細かいと、数えるのが面倒になってきますので、1cmくらいのマス目で実験した方がいいです。
 
 
 当然、図2のようなものもありです。これ、矢印で示したような点があると変分法の計算が面倒になります(まあ、ここではどうでもいいことですが)。
 
 とにかく、色々と形を変えて試してみましょう。
 
 
2. 直角三角形の性質
 
 まあ、先を急がず、色々と準備をしながら進みましょう。最初は面積についてです。
 
 
 そもそも、かけ算の図形的な意味は、長方形の面積です。図3を見てみましょう。長さでは、単位になる長さを決めて(これを1にする)、それを基準にして計ったように、面積でも単位となるものを決めて基準にします。どのようなものが基準になるかというと、一辺の長さが1の正方形が基準となります。そこでこれを単位正方形と呼びます。そして、面積は、単位正方形が何個入っているか、その個数です。図3を見て、マス目を数えてみると解りますが、タテ×ヨコがちょうどマス目の数になっています。
 
 九九を覚えるとき、棒暗記(ぼうあんき)したと思いますが、今一度、九九と図形を対比しながらながめてみるといいでしょう。これが解ったからどうだということはありませんが、このように意味を考えたり、他のものと対比したりすることは、目に見えない形で役に立つようになってきます。
 
 長方形の面積がタテ×ヨコで計算できるとして、今度は三角形の面積を求めてみます。
 
 
 図4は三角形の面積を求める方法を書いています。図4を見れば解りますが、三角形をコピーして、ひっくり返してから貼り付け、その後で端を切りとって貼りなおしています。こうして長方形を作って、その面積を求めています。この長方形は元の三角形を2枚張り合わせて、切り貼りしたものですから、元の三角形の2倍の面積です。従って、この長方形の面積の半分が三角形の面積となります。
三角形の面積 = 底辺×高さ÷2
これが、三角形の面積の計算方法です。
 
 次に、三角形の二辺の長さをそれぞれa、bとしたときに、面積が最大になるのはどんな三角形か考えてみましょう。
 図5を見ながら、問題を整理します。まず、長さaの辺で三角形を重ねてみます。この上で、長さbの三角形として、三角形OAB、三角形OAC、三角形OAEを考えます。OB=OC=OE=bなので、半径bの円周上にB、C、Eは乗ります。そこで、このような三角形の内で、「面積が最大になるのはどんなものか」ということを考えるわけです。
 
三角形の面積は「底辺×高さ÷2」ですし、底辺は共通ですから、当然高さが最大になるものを見つければよいことになります。図5を見れば解りますが、辺がちょうど高さになった場合に最大となります。つまり、三角形OABのときに最大です。このときは、三角形OABは直角三角形ですから、面積はa×b÷2となっています。
 
 今のは、長さがaの辺を重ねましたが、長さがbの辺を重ねても結果は同じです。図5を参考にして自分で考えるとよいでしょう。図形的に考えれば、結果が同じになるはずなので、a×b÷2=b×a÷2をいい換えただけです。とにかく、面積が最大になるのは直角三角形のときです。
 
 今度は、直角三角形と円の関係を考えてみます。結果を早く知りたい人は、図7を最初に見るとよいでしょう。
 
 「円周角」と「中心角」の関係を使えば、あっと言う間に結果が解りますが、あえて別のやり方をとります。
 
 
 直角三角形ABC(角ACBが直角)で考えます。次のようにして、点を取り、補助線を引いていきます。かなりゴチャゴチャしますので、図6をよく見ながら追っていきましょう。
 
(1) 斜辺ABの中点Oをとる(OA=OB)
(2) 点OからACに平行な線を引き、BCとの交点をPとする
(ACとOPは平行)
(3) ACとOPは平行なので、
角ACP=角OPB=直角(同位角は等しい)
角CPO=180度−角OPB=2直角−直角=直角
(4) 三角形OBPを、Oを中心として180度回転させる
OA=OBなので、回転させるとAとBは重なる
回転してできた三角形を三角形OAQとする
回転させただけだから、PB=QA
角AQO=角BPO=直角(角BPO=角OPBと(3)参照)
(5) 四辺形ACPQを考えると、
角ACP=直角
角CPQ=直角(角CPQ角CPOと(3)参照)
角PQA=直角(角PQA=角AQOと(4)参照)
なので、角QACも直角
つまり、四辺形ACPQは長方形
(6) 四辺形ACPQは長方形なので向かい合う辺は長さが同じ
ということで、QAPC
(7) 三角形OBPと三角形OCPとで、
OP=OP(共通ということ)
PB=QAPC((4)と(6)参照)
角CPO=直角=角BPO(角BPO=角OPBと(3)参照)
ということで、OPに関して、三角形OBPを折り返すと、
三角形OCPに重なる
これから、OB=OC
(8) (1)と(7)より、
OA=OB=OC
つまり、点A、B、Cは点Oを中心とする円に乗っている
 
 以上から何が解ったかというと、直角三角形の斜辺の中点を中心とする円に、直角三角形は内接している。
 
 
 斜辺の中点が中心ですから、結局は、斜辺が直径になっています。結果をまとめたものが図7です。
 
 この章の要点は、「二辺が与えられた三角形で、面積が最大になるのは、与えられた二辺のはさむ角が直角になる直角三角形」と、「直角三角形は、斜辺の中点を中心とする円に内接し、斜辺は直径になっている」ということの二点です。つまり図5と図7ですよ。
 
 
3. 円の性質
 
 この章では、円の性質を少しだけ見ていきます。
 
 円の性質を考える上で、もっとも重要なのは「円周率」です。では、どんな数かというと、円周を直径で割ったものです(円周÷直径)。
 
 
 この円周率は、色々と面白い性質を持っていて、それだけで、「理科好き子供の広場」のこれから出てくるものも含めた全原稿以上の量になります(ものすごい量の文献です)。まず、目を引く性質は、円周率は分数では書けませんし、少数で書いても、無限に数字(循環しません)が続きます(だから、SF作品で、コンピューターが知能を持って人間を支配しようとしたときに、「円周率の最後の桁を計算してみろ」と引っ掛けるんですね。でも、コンピューターが円周率の性質を知っていたらどうするんでしょうね)。
 
 数字が無限に続いたり、分数では書けないので、円周率に「π(パイ)」という記号を割り当てて簡単に記載しています。語源は、「円周」をギリシア語で書いたときの頭文字だそうです。アルキメデスによって色々と研究されたこともあって、πのことを「アルキメデスの数」ということもあります。もちろん円周率の計算もしています。円に内接する正多角形と外接する正多角形の周で近似して、大体3.14ぐらいになると計算しています。このようなやり方は、「アルキメデスの取り尽くし法」と呼ばれています。
 
 ついでだから。数学で出てくる定数で、最も重要なものはたった二個しかありません。一つは、πです。もう一つは、「e」という数で、「自然対数(しぜんたいすう)の底(てい)」とか「オイラーの数」というものです(大体2.72ぐらいです)。こちらは、オイラーが発見したもので、多分「Euler」(オイラー)の頭文字を取ってつけたものだと思います。πとeはしつっこくつきまといますので、人によっては一生付き合わなければなりません(しかも大概の場合、両方同時に出てくる)。
 
 さて、図8を見れば解りますが、円周率=円周÷直径ですから、円周=円周率×直径と計算されます。直径は半径の2倍ですから、円周=2×円周率×半径となります。半径をrと書けば、
円周=2πr
となります。この式はよく見かけるでしょう。
 
 では、とりあえず、円の面積を考えてみましょう。
 
 
まず、半径rの円を直径に沿って半分に切ります。次に、その半分に切った半円を、扇形に等分割して広げます。分割の仕方は、2コ、4コ、8コ、16コ、32コ、64コ、・・・という風に、2倍2倍と進んでいくといいです(角の二等分は、定規とコンパスで作図できるから)。図9は半円を8等分したものです。
 
 分割してできたギコギコの図形を合体させると、平行四辺形っぽい図形ができます。この図形の面積は、元の円の面積と同じです。更に、図10にあるように、半端部分を切り取って移動させると、長方形っぽくなります。
 
 
ギコギコの部分は、元々半円周ですから、円周の長さ2πrの半分でπrです。タテの長さに相当する部分は、半径よりちょっと大きいですが、分割を大きくすると、段々半径rに近い値になっていきます。ということで、このギコギコ図形は、タテr、ヨコπrの長方形に段々近づいていきます。ですから、円の面積は、この長方形の面積π×r×rになります(べき乗がうまく入んないのでゴメン)。
 
 「えっ、すっげーいい加減だ。こんなんありか」って思った人も多いかと。はいはい、いい加減です。もう少しましにやりましょう。(上の説明で満足した人は図12の説明へ飛んでもいいです)
 
 
 ギコギコ図形に外接する長方形内接する長方形を考えましょう。図11では、解りやすくするため、内接する長方形のヨコを少し縮めて書いていますが、正しくは、外接する長方形タテの線に重なっています。外接する長方形タテの長さとヨコの長さも、内接する長方形タテの長さとヨコの長さも計算して出すことができます。ですが、結構面倒な計算なので省略します。「我こそは」と思う人は挑戦してみましょう(高校で三角関数の勉強をしてからの方が簡単な式になります。もちろんなくてもできます)。
 
 ギコギコ図形の面積は、外接する長方形の面積内接する長方形の面積の間にあります。つまり、
外接する長方形の面積 > 円の面積 > 内接する長方形の面積
ですから、誤差は、
外接する長方形の面積 − 内接する長方形の面積
によって押さえられます(図11での線で囲まれた面積)。
 
 ここで精度について考えましょう。平たくいうと、精度は誤差のことです。ですから、精度を上げるというのは、誤差を小さくすることです。そこで、望むだけの精度で求めるということは、まず、その望みにかなう誤差を決めて、その上で誤差に収まるように分割を細かくするということです。
 
例えば、誤差を百分の1にしようとすれば、最低何個に分割すればよいかが決まり、誤差を1億分の1にしようとすれば、それによって最低何個に分割すればよいかが決まるということです。
 
 もっと日常的な例として「ものさし」の製造を考えてみると解りやすいと思います。仮に、1mのものさしを製造するとしましょう。誤差が1/100まで許容されるなら、99cmから101cmまでの範囲にあればいいわけです(こんなものさしは使い物になりません)。するとそれを製造するのに必要な設備が決まります(設備投資はかなり安いと思います)。誤差が1/1000までしか許容されないとすれば、99cm9mmから1m1mmの範囲(実感がわくようにあえて変な書き方にしています)になければなりません(これなら実用的ですね)。すると、これを製造するのに必要な設備が決まります(設備投資は高額になるでしょう)。
 
 ようするに、精度を上げるということは、まず、誤差の範囲を決めて、その誤差の範囲に収まるようにすることです。このようにして、円の面積を望むだけの精度で計算できるということは、誤差を決めて、その誤差に収まるように分割数が決められるということです。もちろん、そこで決めた分割数より多ければ全てOKです。
 
 円の面積はギコギコ図形の面積と同じでしたから、円の面積は、外接する長方形の面積内接する長方形の面積で近似されます。もちろん、誤差は与えられた範囲内です。
 
 そして、実際に計算すると、外接する長方形の面積内接する長方形の面積ともπ×r×rという値から、いくらでも誤差を小さくできます(もちろん、誤差に応じて円の分割数を大きくします)。つまり、外接する長方形の面積内接する長方形の面積も、いくらでもπ×r×rに近い値を取るようにできます。
 
 このようにして、円の面積=π×r×rと出します。これは、いくらでも精度を上げてこの値に近い値が計算できるという意味です。
 
 今度は、円が強い対称性を持っているということを見ていきます。
 
 
 図12みたいないびつな図形を考えます。この図形で、図12にあるように直線でスパッと切って、その部分をひっくり返して貼り付けてみます。すると赤い線のようになり、全体は元の図形と形が変ってしまいます。
 
 同じことを円でやってみます。
 
 
 円の場合、図13のように、どのような直線でスパッと切って、その部分をひっくり返して貼り付けても全く変りません。元の円のままです。
 
 ひっくり返すというのは、軸となる直線での折り返しです。図にあるように、円周からどんな点を取っても、二等辺三角形の同じ長さの辺を入れ替えるだけなので当然ですね。
 
 これが円の持っている強い対称性の一つです。ということで、この章の要点は、「円はどんな直線でスパッと切って、その部分をひっくり返しても形が変らない」ということです(円の面積はおまけです)。円は自分のものは絶対に手放さないということですね。これが最初に書いた「けちんぼ」の意味です。がめついとか、大地主は面積最大ということですけど。
 
 
4. 凸図形(とつずけい)
 
 以上で、等周問題を解く準備が整いました。
 
 「えっ、これで準備ができたの?」って、誰しもが不思議に思うことでしょう。だいたい、今までに準備したことは、直角三角形と円の簡単な性質だけですから。最初に、変分法だ、フーリエ級数だと、何やら怪しげなものを使って解くものだと書いておいて、こんなので、本当に解けるのでしょうか。
 
 という疑問は無視して先へ進みます。
 
 まず、「等周問題」の復習からです。「等周問題」というのは、「周の長さが同じなら面積が最大になるのはどんな図形だ」という問題です(もちろん周が閉じているものを対象としています)。
 
 とりあえず、候補にならない図形を除外するのがこの章の目的です。
 
 
 図14を見てみましょう。くぼんだ図形は、くぼんだ部分を折り返すことによって面積を大きくできます。しかも、周の長さは変りません。つまり、くぼんだ図形では等周問題の答えにならないということです。子供の広場流のやり方では、いきなり図2のような図形は排除されてしまいましたね(くぼんでいるから)。
 
 
 くぼんだ図形を候補から外す(はずす)ために、図形を分類します。図15を見てみましょう。くぼんだ図形は、うまく2点A、Bを取って(周か内部から取る)直線で結ぶと、その図形の外へはみ出てしまいます。ですから、この性質を利用して、くぼんだ図形を外せそうです。
 
 図15の右にあるように、くぼんでない図形は、どんな2点A、Bを取って(周か内部から取る)直線で結んでも、決して図形からはみ出しません。このような性質を持つ図形を「凸図形(とつずけい)」と呼びます。
 
 これで、等周問題の答えは凸図形に絞られました。
 
 
しかし、凸図形ならなんでもいいというものでもありません。だ円のような、対象性の高い図形でもダメです。だ円では、図16にあるように、直線でスパッと切ってひっくり返すとくぼんだ図形(ハート型)になってしまいます。当然この図形は元のだ円と、周の長さも面積も同じです。従って、図14でやったようにして、周の長さを変えずに面積を大きくできます。なお、ここでは、だ円に円を含めません。
 
 
 この章の最後に、くぼんだ図形と凸図形とで、内接三角形が書けるかどうかを考えてみましょう。図17を見れば、くぼんだ三角形では、内接三角形が書けない(外部へはみ出す)場合のあることが解ります。一方、凸図形では、常に内接三角形は書けます(図15の説明の後半を見て考えよう)。
 
 
5. 等周問題(とうしゅうもんだい)
 
 いよいよ最後の詰めです。2章の要点を読み返しておきましょう。
 
 前章の結果から、凸図形に限ってしまってよいので、常に、内接三角形を取ることができます。まず、周の長さをLとします。周の長さが半分L/2になるように2点A、Bを取って、直線ABで切断します。
 
 
図18のように、半分に切断した図形上に点Cを取って三角形ABCを作ります。考えている図形は凸図形ですから、三角形ABCは内接三角形です。この三角形の面積が直角三角形でないとすると、点Cで青い方を少し回転させて直角三角形にすることができます。回転させただけですから、赤い部分の面積も、青い部分の面積も変りません。すると、2章でやったように、直角三角形の面積が最大でしたから、元の半周の図形ABCよりも、半周の図形ADCの面積の方が大きくなります。
 
 
 ということで、内接する三角形が直角三角形でなければ、必ず面積を大きくできてしまいます。従って、半周上のどんな点Cに対しても、三角形ABCは、角ACBを直角とする直角三角形でなければなりません。やはり、2章でやった結果から、このときは、斜辺ABの中点をOとすると、OA=OB=OCです。つまり、半円になります(図19)。
 
 
 もう片方の部分も半円になりますので、つなぎ合わせて、ちょうど円になります。しかも、図20にあるように、面積は周の長さLを元にして計算できます。これで等周問題は解けました。周の長さが同じ図形の内、面積が最大になるのは円です。
 
 なんか、ウソみたいに簡単にできてしまいましたね。しかし、実は、少し手抜きがあります。最初から、等周問題の答えがあるものとしています。平たくいうと、周の長さが一定の図形に面積が最大になるものがあるものとして扱っています(状況は変分法を使った場合でも同じです。たいていの人は本当に最大になるものがあると示していません)。これは示せますが、精密な極限操作が必要ですので、将来、極限について勉強したときの楽しみにとっておきましょう。
 
平成19年5月22日
坂田 明治(あきはる)
 

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