第１１７話

　パラドックス再び

　

「方針」

どんなことでも、天下りに信用せず、一度は疑ってかかり、自分でよく考えてから判断しましょう。

　

　

本　文　目　次

　１．どうでもいい話

　２． 1 は 0 に等しい

　３．やっぱり 1 は 0 に等しい

　４．すべての円の円周の長さは等しい

　５．三角形の二辺の長さの和は残る一片の長さに等しい

　６．半円周の長さは直径の長さに等しい

　７．九半十二丁

　８．ダランベールの論法

　

著者　坂田　明治

　

　

　

第１１７話　パラドックス再び

　

１．どうでもいい話

　セキュリティーソフトの会社から、「サポートの切れた古いOS対応のソフトのサポートを打ち切る。」との警告を受けた。しぶしぶ、新しいパソコンに買い換えたけれども、とにかく使いにくい。古いソフトがインストールできなかったり、動かなかったりして、理科好き子供の広場の絵と式がまともに作れない。解像度が高いせいもあって、位置ずれだの、丁度いい大きさでの切り出しができない。大体、解像度を下げるとガッタガタで見られたもんじゃなく、推奨解像度にして倍率で調整するってなんだよ。

　

　こんなときは、ドブガモでも見に行こう。ドブガモというのは、写真のやつらだ。

　

　

　こいつら、カルガモともいうが、以前は、よくドブにいた。それでドブガモというのだが、近頃のドブは蓋がしてあって、ドブに来なくてつまらんな。まあ、ともかく、調整池の方にはよく来ているから行こう。

　

　

　冬が近づいてくると、ピッピガモ(笛を吹いているような鳴き声がするからこういう)こと、コガモが見られるようになる。

　

　

　この写真を見せると、「なんだこのエロオスガモは。女三人連れて遊んでいて、生意気だ。」(注:メス三羽連れて遊んでいて、と正しい日本語を使いましょう。また、カモにひがむのはやめましょう。)と言ってる奴がいた。ちなみに、写真の、一番右にいるのがオスで、他はメス。

　

　というわけで、今回は、パラドックスの話にしよう(何の脈絡があるんだ)。図や式の表示が以前と違っているのは、パソコンを買い換えさせたやつらが原因で、理科好き子供の広場のせいではないぞ（こうやって他人に責任を転嫁する）。また、例によって解説は付けないので、ちゃんと自分でよく考えて間違いを正すこと。

　

　

２． 1 は 0 に等しい

　また、これですね。この手の話、何回目でしょうか。でも、しつっこくやるもんね。

　

　明らかに、無限大に 1 を加えても無限大ですね。

　

　

　よって、式（１）の両辺から無限大を引けば、

　

　

　となり、 1 は 0 に等しくなります。めでたし、めでたし。

　

　

３．やっぱり 1 は 0 に等しい

　こんなのインチキだ。と言う人がいるので、別な方法でも同じ答えになることを示しましょう。

　

　まずは、式（３）の不定積分を考えましょう。置換積分によって簡単に求まりますね。

　

　

　次のように、置換積分しましょう。

　

　

とおくと、

　

　

なので、

　

　

となります。

　

　同様にして、

　

　

とおくと、

　

　

となります。

　

　これより、

　

　

が成り立ちます。

　

　一方、式（１０）が成り立つので、

　

　

これと式（９）から、

　

　

となり、 またしても、1 は 0 に等しくなりました。めでたし、めでたし。

　

　

４．すべての円の円周の長さは等しい

　２つの同心円を考えましょう。つまり、図１のOを中心として、半径OAの円と半径OBの円です。

　

　

　そうして、Oを中心として、半径OAの円を、１直線上に、滑らずに１回転ころがします。このときに、線分ACの長さは、半径OAの円の円周の長さになるでしょう。

　

　一方で、Oを中心として、半径OBの円も滑らずに１回転ころがるから、線分BDの長さは、半径OBの円の円周の長さになりますね。

　

　明らかに、四辺形ACDBは長方形だから、線分ACと線分BDの長さは等しい。

　

　これから、Oを中心として、半径OAの円の円周の長さと、Oを中心として、半径OBの円の円周の長さは等しくなります。

　

　したがって、すべての円の円周の長さは等しくなります。

　

　

５．三角形の二辺の長さの和は残る一片の長さに等しい

　三角形ABCを考えましょう。各辺の中点を、図２のように、L、M、Nとします。