『正多角形の種類』　理科好き子供の広場

第１２０話

　正多角形の種類

「主な目的」

通常、正多角形といえば凸型正多角形を連想しますが、星型正５角形のように、星型正多角形が存在場合があります。これを踏まえ、正多角形の種類がどうなるかを考察します。

本　文　目　次

　１．どうでもいい話

　２．正多角形

　３．頂点の巡り方

　４．オイラーの関数

著者　坂田　明治

第１２０話　正多角形の種類

１．どうでもいい話

　今年も、ピッピが帰ってきた。夏の間は、ピッピどころか、ドブガモもどっかへ行ってしまって、全然見られなかった。しかし、やっとピッピが帰ってきて、調整池でドブガモと群れていた。

　こいつら、調整池で遊びまわっている。もう、ピッピはエクリスプ状態から抜けて、オスとメスの区別が付くようになっていた。しかし、まあ、ドブガモのオスとメスは区別が付かないけど。

　それにしても、水鳥は仲がいいみたいだ。写真１はピッピとドブガモが一緒にいたが、写真４ではピッピとビロサギが一緒にいる。他にも、写真５では、ビロサギとドブガモが一緒にいる。

　調整池と、その周辺ではこいつらしかいないが、川の方に行くと、マガモが遊んでいる。近づくと逃げるので、土手からしか写真が撮れない。こうなってくると、やっぱり、一眼レフのカメラと望遠レンズが欲しくなるな（貧乏で手が出ない）。

　写真6ではマガモのオスとメスが写っている。こちらの土手からは遠いため、全くこっちを気にしてないような感じだ。メスの目を見ればわかる。ちなみに、この川は画面の左から右の方へ流れ、みんな上流の方を向いている。

　写真７の先頭を泳いでいる奴は、三白眼で、時代劇の八九三みたいな悪党面に見える。

　ところで、アヒルかアイガモを飼ったことのある奴なら知ってるけど、こいつらの瞼は白く、人間とは逆に目の下にある。そして、くちばしの方から、頭の後ろの方へ横に瞬膜が出てくる。瞬膜は、眼球と瞼の間にあって、人間のまばたきを、瞬膜でやっている。

　それで、通常、寝るときの他には、瞼を閉じることはない。特に警戒してるときはそうだ。なので、写真７では、よほど安心して寝ているような感じだ。それにしても、こいつら、泳ぎながら寝ているのか。しばらく見ていると、オオバンまで泳いできて、群れに加わった。

　そうそう、こんな写真も撮れた。よくもまあ、こんなでっかい魚が喉を通るもんだ。

　なお、調整池や川の方へ行く途中でも、色々な鳥が見られる。写真１０はチョウゲンボウのボウちゃんだ。

　タカ類は電柱の一番高いところに停まるのに、ボウちゃんは電線の中央に停まる。そういう趣味なのかな。

　他にも、トンビのトンちゃんがいた。

　やっぱり木の一番高いところに停まっている。

２．正多角形

　今回は、正多角形が何種類あるかを考えましょう。通常、正多角形というと、凸型正多角形を連想するけど、その他に、星型正多角形が存在する場合もあります。そこで、それらを含めて、正多角形（正 n 角形）は何種類あるのかを考えます。

　とりあえず、正多角形がなんであるかを知らないと話にならないので、以下の４条件を満たす図形を正多角形（正 n 角形）とします。

　（１）　円に内接している図形。外接円のある図形といっても同じ。

　（２）　 n 個の頂点によって、円周が n 等分される。

　（３）　頂点の１つを基点として、基点から始めて、各頂点間を m 個飛びの辺で結んでいる。

　（４）　基点から辺に沿って動くと、全ての頂点を巡って基点に戻ってくる。

　まずは、具体例から入ります。正１角形、正２角形は存在しないので、正３角形から見ていきましょう。以下、正多角形は円に内接しているので、円に内接させて描きます。

　明らかに、星型３角形なんてないので、正３角形はただ１種類だけですね。

　次に、正４角形についてです。

　図３は（３）を満たさないので、正４角形とはならず、正４角形はただ１種類だけです。

　今度は、正５角形です。

　正５角形は、凸型正５角形と星型正５角形の２種類あります。

　引き続いて、正６角形です。

　やはり、図６は（４）を満たさないので、正６角形とはならず、正６角形はただ１種類だけです。

　以下、正７角形などを考えるのは、読者の宿題です。これ、紙に、テキトーに円を描いて、その上に正７角形を描いた方が簡単に確かめられます。まあ、結果からいうと、凸型正７角形と星型正７角形２種の、計３種類になります（後で出てくる）。

３．頂点の巡り方

　とにかく、正多角形をちゃんと扱いましょう。

　正５角形を例として考えていきます。正５角形を描くには、まず、円周を５等分します。これは、理論的な話なので、作図できるできないとは関係なく、とにかく５等分するということです。そして、５等分した点に、番号を振っていきます。基点を 0 として、順番に 0 、 1 、 2 、 3 、 4 と振ります。振る方向は、時計回りでも、反時計回りでも、どちらでもいいので、ここでは、慣習に従って、反時計回りにします。

　次に、各点を線分で結び、以下の、式（１）、式（２）の頂点を巡る系列を作ります。

　頂点の飛び方は一定なので、式（１）、式（２）は、以下のようになります。

　さて、単なる足し算だと、微妙に疑問符の残るところが出てきます。疑問符を解消し、これらの系列にうまく意味を持たせるためにはどうしたらよいでしょうか。式（３）、式（４）をよーく見ると、 5 で割った余りを並べた系列と考えればよさそうです。そのつもりで、式（３）、式（４）を書き直してみましょう。

　綺麗に表記出来ましたね。このことから、割った余りに着目するのは重要だと気づきます。そこで、 a と b の双方を n で割った余りが等しいときに、式（７）のように書き、合同式と呼びます。

　読み方は、「 a は n を法として b と合同である」としています。まあ、この読み方は面倒なので、前後から n がわかっているときは、「 a 合同 b 」などと読んでいます。

　合同式には、色々な性質があります。特に、以下の同値率が成り立つので、等号と同じように扱えます。ちなみに、式（８）は反射率、式（９）は対称律、式（１０）は推移律と呼びます。もちろん、これらを確かめることは読者の宿題です。

　また、式（１１）のように、普通の整数計算と同じ計算法則が成り立ちます。当然、これを確かめるのは読者の宿題です。

　さて、正多角形に戻り、式（５）、式（６）相当の式をもっと詳しく考えましょう。つまり、全て 5 で割った余りとして記載する系列で考えることです。

　式（５）、式（６）は、それぞれ、基点に、 1 、 2 を足したものですが、他に、 3 、 4 を足したものも考えられます。

　式（１２）、式（１３）の系列から図７を眺めると、正５角形の各頂点を時計回りに回っていることがわかります。正５角形では、各頂点の回り方に方向性がある訳ではないため、反時計回りでも、時計回りでも区別をする必要はありません。つまり、式（５）と式（１２）は同じ凸型正５角形、式（６）と式（１３）は同じ星型正５角形になります。まあ、それぞれ、式（５）、式（６）の矢印を逆にしただけなんだけどね。

　これは、 1 と 4 、 2 と 3 での系列は、矢印が逆向きなので同一視されるということですね。つまり、 m と n - m とは、反時計回りと時計回りの差しかないので、図形としては全く同一になるということです。

　おまけに、正７角形について書いておくと、式（１４）、式（１５）、式（１６）の三つの系列に対応する３種類の正７角形になります。もちろん、この３本の系列の他にも３本の系列が存在しますが、それは、それぞれ式（１４）、式（１５）、式（１６）の矢印を逆向きにしたものです。

４．オイラーの関数

　前章の考察により、正 n 角形の存在は、式（１７）の系列が存在するかどうかで判定出来ました。

　ここで、 0 、 m 、 2 m　、・・・、(n-1) m を n で割った余りは互いに異なります。

（このことを、 0 、 m 、 2 m 、・・・、(n-1) m はmod n について互いに異なるという）

　この条件は、簡単です。 m と n とが互いに素であることですね。というのは、互いに異なってないとすると、どっか同じ（mod n について）ものがあるので、その差分を取れば、 n が、 m となんかの積になって互いに素に反する。逆に互いに素でないとすれば、上の、 0 から (n-1) m の中に 0 となるもの（mod n について）が存在するからです。

　以上から、正 n 角形の種類は、 n より小さく、 n と互いに素な正の整数の個数の半分となります。（矢印が反対向き、つまり、 m と n - m とは同一視するから）

　この、「 n より小さく、 n と互いに素な正の整数の個数」のことをオイラーの関数と呼び、式（１８）のように書きます。